Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD與
平面ABCD所成的角依次是$\frac{π}{4}$和$arctan\frac{1}{2}$，AP=2，E、F依次是PB、PC的中點；
（1）求異面直線EC與PD所成角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）
（2）求三棱錐P-AFD的體積．

Answer 1

分析 （1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．利用向量$\overrightarrow{EC}$與$\overrightarrow{PD}$所成角求得異面直線EC與PD所成角的大小；
（2）直接利用V_P-AFD=V_P-ACD-V_F-ADC求解．

解答 解：（1）分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
∵AP=2，$∠PBA=\frac{π}{4}$，∠PDA=$arctan\frac{1}{2}$，
∴AB=2，AD=4，則P（0，0，2），D（0，4，0），E（1，0，1），C（2，4，0），
$\overrightarrow{EC}=（1，4，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，4，-2）$．
∴cos＜$\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{18}{\sqrt{18}×2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線EC與PD所成角的大小為$arccos\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$；
（2）V_P-AFD=V_P-ACD-V_F-ACD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×1$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，訓練了利用空間向量求異面直線所成角，是中檔題．