Question

△ABC中，a，b，c分別是內角A，B，C的對邊，C=

π

3

，a+b=λc，（λ＞1）
（Ⅰ）若λ=

3

，求證：△ABC為直角三角形
（Ⅱ）若S_△ABC=

9 3

16

λ2，且c=3，求λ．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）依題意，a+b=λc=

3

c，又△ABC中，C=

π

3

，利用余弦定理可得a²+b²+2ab=3c²=3（a2+b2-2abcos

π

3

），繼而可求得a=2b或b=2a，于是易判斷△ABC為直角三角形；
（Ⅱ）S_△ABC=

1

2

absin

π

3

=

9 3

16

λ2⇒ab=

9

4

λ²①，又c=3，a+b=3λ②，利用余弦定理可得λ²=4，從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵λ=

3

，
∴a+b=λc=

3

c，又△ABC中，C=

π

3

，
∴a²+b²+2ab=3c²=3（a2+b2-2abcos

π

3

），
∴（a-2b）（2a-b）=0，
∴a=2b或b=2a，
當a=2b時，

3

c=a+b=3b，c=

3

b，b²+c²=b²+3b²=4b²=a²，故△ABC為直角三角形；
當b=2a時，同理可得，a²+c²=b²，故△ABC為直角三角形；
綜上所述，λ=

3

時，△ABC為直角三角形．
（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

absin

π

3

=

9 3

16

λ2，
∴ab=

9

4

λ²①，又c=3，∴a+b=3λ②，
∴9=c²=a²+b²-2abcos

π

3

=3c²=（a+b）²-3ab=9λ²-3×

9

4

λ²=

9

4

λ²，
∴λ²=4，λ＞0，故λ=2．

點評：本題考查三角形形狀的判斷，突出考查余弦定理與整體代換的思想，考查綜合運算能力，屬于難題．