Question

12．三棱錐S-ABC的頂點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影為P，給出下列條件，一定可以判斷P為三角形ABC的垂心的有（　�。﹤�(gè)
①SA=SB=SC
②SA，SB，SC兩兩垂直　
③∠ABC=90°，SC⊥AB
④SC⊥AB，SA⊥BC．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由斜線相等得到射影相等判斷①；利用線面垂直的判定和性質(zhì)結(jié)合垂心概念判斷②③④．

解答 解：如圖，
對(duì)于①，由SA=SB=SC，可得PA=PB=PC，可得P為底面三角形ABC的外心；
對(duì)于②，SA，SB，SC兩兩垂直．
由SB⊥SA，SB⊥SC，可得SB⊥平面SAC，則SB⊥AC，
又SP⊥平面ABC，∴SP⊥AC，則AC⊥平面SPB，則PB⊥AC．同理可得PA⊥BC，則P為底面三角形ABC的垂心；
對(duì)于③，由∠ABC=90°，得AB⊥BC，又SC⊥AB，得AB⊥平面SBC，∴平面ABC⊥平面SBC，則S在底面的射影P在BC上，不一定為底面三角形的垂心；
對(duì)于④，SC⊥AB，SA⊥BC．
由SP⊥平面ABC，得SP⊥AB，又SC⊥AB，則AB⊥平面SPC，則AB⊥PC，同理可得AC⊥PB，可得P為底面三角形的垂心．
∴可以判斷P為三角形ABC的垂心的有2個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．