Question

20．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若對任意x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，不等式f（x）=|2x+a|-4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對x取值的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）利用等價轉(zhuǎn)化思想，可得|2x+a|≤8，從而求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當x≤-$\frac{1}{2}$時，-2x-1-2x+3≤6⇒x≥-1；
當-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$時，-2x-1+2x-3≤6恒成立；
當x≥$\frac{3}{2}$時，2x+1+2x-3≤6⇒x≤2，
綜上，解集為[-1，2]；
（Ⅱ）f（x）≥|2x+a|-4?|2x+a|≤8
即-8≤2x+a≤8⇒$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥-8}\\{a+2≤8}\end{array}\right.$⇒-7≤a≤6．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．