Question

4．已知函數(shù)f（x）=ksin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象過(guò)點(diǎn)（π，1）．
（1）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（π，1），求得k的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（2）利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得t=cos（2x$\frac{π}{6}$）的范圍，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)g（x）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ksin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象過(guò)點(diǎn)（π，1），∴ksin（2π+$\frac{π}{6}$）=ksin$\frac{π}{6}$=$\frac{k}{2}$=1，k=2，
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，則2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴t=cos（2x$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
求函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1=$\frac{1}{2}$•${sin}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2sin（2x+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{1}{2}$•[1-${cos}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$]-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1
=-$\frac{1}{2}$•t²-2t-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t²+4t）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$•（t+2）²+$\frac{3}{2}$，
故當(dāng)t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為$\sqrt{3}$-$\frac{7}{8}$；當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為-3，
故函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-3，$\sqrt{3}$-$\frac{7}{8}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求三角函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．