Question

如圖，在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為3的等邊三角形，AA′=4，M為AA′的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側面經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長為

29

，設這條最短路線與CC′的交點為N．求：
（1）該三棱柱的側面展開圖的對角線長；
（2）PC與NC的長；
（3）三棱錐C-MNP的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱的結構特征,棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由展開圖為矩形，用勾股定理求對角線長．
（2）在側面展開圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線段AP的長度，進而可以求出PC的長度，再由相似比可以求得CN的長度．
（3）M到平面PCN的距離d=AP=

3 3

2

，由V_C-MNP=V_M-PCN，利用等積法能求出三棱錐C-MNP的體積．

解答： 解：（1）由已知得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，
其對角線長為

92+42

=

97

．
（2）如圖，將側面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉120°使其與側成AA₁C₁C在同一平面上，
點P運動到點P₁的位置，連接MP₁，
則MP₁就是由點P沿棱柱側面經(jīng)過棱CC₁到點M的最短路線，
設PC=x，則P₁C=x，在Rt△MAP₁中，
由勾股定理得（3+x）²+2²=29，
解得x=2，∴PC=P₁C=2，
∵

NC

MA

=

P1C

P1A

=

2

5

，∴NC=

4

5

．
（3）∵在直棱柱ABC-A′B′C′中，底面是邊長為3的等邊三角形，
∴M到平面PCN的距離d=AP=

3 3

2

，
又S_△PCN=

1

2

×PC×NC=

1

2

×2×

4

5

=

4

5

，
∴V_C-MNP=V_M-PCN=

1

3

×AP×S△PCN
=

1

3

×

3 3

2

×

4

5

=

2 3

5

．

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力，是中檔題．