Question

2．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2cos²$\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間及對(duì)稱(chēng)軸方程．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx-1=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-1，然后將x=$\frac{π}{3}$代入求值；
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ解出單調(diào)遞減區(qū)間，令x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$解得對(duì)稱(chēng)軸方程．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-2{cos^2}\frac{x}{2}$=$\sqrt{3}$sinx-cosx-1=2sin（x-$\frac{π}{6}$）-1．
∴f（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{6}$-1=0．
（2）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
解得$\frac{2π}{3}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{3}$+2kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{2π}{3}$+2kπ，$\frac{5π}{3}$+2kπ]，k∈Z．
令x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
解得x=$\frac{2π}{3}$+kπ，
∴f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程是x=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)，化成復(fù)合三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．