Question

13．如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）若AB=1，求四棱錐C-ABED的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE的中點G，連FG、BG，欲證AF∥平面BCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面BCE內(nèi)一直線平行即可，而AF∥BG，滿足定理；
（Ⅱ）證明AF⊥平面CDE，利用BG∥AF，可得BG⊥平面CDE，即可證明平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）取AD中點M，連接CM，而CM⊥平面ABED，則CM為四棱錐C-ADEB的高，根據(jù)體積公式V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：取CE的中點G，連FG、BG．∵F為CD的中點，
∴GF∥DE且GF=$\frac{1}{2}$DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=$\frac{1}{2}$DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE；
（Ⅱ）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，
∴AF⊥CD                                               
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，
∴DE⊥AF．                                              
又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．                       
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）解：取AD中點M，連接CM，
∵△ACD為等邊三角形，則CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE?平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，
∴CM為四棱錐C-ADEB的高，
∴V=$\frac{1}{3}$CM•S_ABED=$\frac{1}{3}$AF•S_ABED=$\sqrt{3}$．

點評 本小題主要考查直線與平面平行，平面與平面垂直，以及棱柱、棱錐、棱臺的體積等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．