【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣3，0）、F2（3，0），直線y=kx與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若三角形AF1F2的周長(zhǎng)為 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若 ，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求直線y=kx斜率k的取值范圍．

【答案】
（1）解：由題意得 ，得a=2 ，c=3．

結(jié)合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．

橢圓的方程為


（2）解：由 ，得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

∴ ，

依題意，AF2⊥BF2，

∵ ， ，

∴ = =0．

即 ，

將其整理為 ．

∵ ，∴12≤a2＜18．

∴ ，即k∈ ．


【解析】（1）由題意得 ，求出a、c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）聯(lián)立 ，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，依題意，AF2⊥BF2 ， 利用向量數(shù)量積為0得到關(guān)于a，k的關(guān)系式，在結(jié)合a的范圍得答案．

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②存在k∈N* ， 使得ak﹣ak+1與a2k+1﹣a2k﹣3同號(hào)；
③若d＞0．且S3=S8 ， 則S5與S6都是數(shù)列{Sn}中的最小項(xiàng)
④點(diǎn)（1， ），（2， ），（3， ），…，（n， ）（n∈N*），…，在同一條直線上．
其中正確命題的序號(hào)是 ． （把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

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