Question

19．若正實數(shù)x．y滿足$\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{xy}$=1，且不等式xy+$\frac{1}{2}$a²x+a²y+a-17≥0恒成立，則a的范圍是（-∞，-3]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 原不等式恒成立可化為xy≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，由基本不等式結合不等式的解法可得xy≥2，故只需2≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，解關于a的不等式可得．

解答 解：∵$\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{xy}$=1，∴x+2y+4=4xy，即x+2y=4xy-4，
∵不等式xy+$\frac{1}{2}$a²x+a²y+a-17≥0恒成立，
∴（$\frac{1}{2}x+y$）a²+a+xy-17≥0恒成立，
即（2xy-2）a²+a+xy-17≥0恒成立，
變形可得xy（2a²+1）≥2a²-a+17恒成立，
即xy≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，
∴4xy=x+2y+4≥4+2$\sqrt{2xy}$，
即2xy-$\sqrt{2}$•$\sqrt{xy}$-2≥0，解得$\sqrt{xy}$≥$\sqrt{2}$或$\sqrt{xy}$≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
∴xy≥2，∴2≥$\frac{2{a}^{2}-a+17}{2{a}^{2}+1}$，
解得a≤-3或a≥$\frac{5}{2}$，
故答案為：（-∞，-3]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題考查基本不等式的應用，涉及恒成立問題，變形并求出需要的最小值是解決問題的關鍵，屬中檔題．