Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減等價(jià)于其導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[2，4]上恒成立，只需求在[2，4]上的最小值即可；

（2）題意可化為當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，設(shè)g（x）＝a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可，下面用導(dǎo)數(shù)求解g（x）的最大值．

解：（1）

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

在區(qū)間上恒成立，

即在上恒成立

只需不大于在上的最小值即可

當(dāng)時(shí)，

即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）因?yàn)?/span>圖象上的點(diǎn)都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)

即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立

即恒成立

設(shè)只需

既可

由

⑴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立

⑵當(dāng)時(shí)，由

令得

①若，即時(shí)，在區(qū)間上

在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上無最大值，不滿足條件

②若，時(shí)

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

同樣在上無最大值，不滿足條件

⑶當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，故則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故成立

綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是