Question

如圖，在幾何體ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求證：平面FBC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）若M為線段EF的中點，設(shè)平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BC⊥AC，從而證明BC⊥平面ACFE，可證平面ACFE⊥平面FBC；（2）以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，用空間向量完成．

解答： 解：（Ⅰ）證明：在四邊形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC．
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
又∵BC?平面FBC，
∴平面ACFE⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示的空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（

3

2

，0，1），
∴

AB

=（-

3

，1，0），

BM

=（

3

2

，-1，1），
設(shè)

n1

=（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，由

n1 • AB =0 n1 • BM =0

得，

- 3 x+y=0 3 2 x-y+z=0

取x=1，則n₁=（1，

3

，-

3

2

），∵

n2

=（1，0，0）是平面FCB的一個法向量，
∴cosθ=

. n1 • n2   .

. n1   . . n2   .

=

2 19

19

．
所以平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值

2 19

19

．

點評：本題第（1）小題要注意圖形分解，找到突破口，第2問用空間直角坐標系求解，注意空間向量．屬于中檔題．