Question

12．設(shè)$a=\frac{ln3}{3}$，$b=\frac{ln4}{4}$，$c=\frac{ln5}{5}$，則a、b、c的大小關(guān)系為（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞b＞a
• C． b＞c＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 法一：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，通過討論g（x）的單調(diào)性求出a，b，c的大小，
法二：$a=\frac{ln3}{3}$，$b=\frac{ln4}{4}$，$c=\frac{ln5}{5}$，分別看作函數(shù)y=lnx上A，B，C點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，問題得以解決．

解答 解：法一：設(shè)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
而5＞4＞3＞e，
∴g（5）＜g（4）＜g（3），
即$\frac{ln5}{5}$＜$\frac{ln4}{4}$＜$\frac{ln3}{3}$，
∴a＞b＞c，故選：A；
法二：$a=\frac{ln3}{3}$，$b=\frac{ln4}{4}$，$c=\frac{ln5}{5}$，
分別看作函數(shù)y=lnx上A，B，C點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，
由圖象可知，k_OA＞k_OB＞k_OC，
∴a＞b＞c，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性問題，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，也可畫出圖象，利用直線的斜率，來比較大小，屬于基礎(chǔ)題．