Question

已知函數(shù) ，且．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若的最小值為1，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）;

（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，

（3）

【解析】

試題分析：（1）可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在左側(cè)與右側(cè)的符號(hào)不同；（2）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，若，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；（3）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減）求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到;（3）分類討論是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)，要找好臨界條件進(jìn)行討論．

試題解析：解（1） 2分

∵在x=1處取得極值，∴解得 3分

（2） ∵ ∴

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為 5分

②當(dāng)時(shí)，由

∴ 8分

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）①知， 10分

當(dāng)時(shí)，由（2）②知，在處取得最小值

綜上可知，若得最小值為1，則的取值范圍是 12分

考點(diǎn)：1、利用函數(shù)的極值求參數(shù)的范圍；2、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；3、利用最值求參數(shù)范圍．