Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x²-x）e^x
（1）求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x），并證明f（x）≥g（x）
（2）若方程f（x）=m（m∈R）有兩個正實數(shù)根x₁，x₂，求證：|x₁-x₂|＜$\frac{m}{e}$+m+1．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，可得切線方程，構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論；
（2）（x²-x）e^x≥e（x-1），設(shè)y=m與y=-x和y=e（x-1）的兩個交點的橫坐標(biāo)為x₃，x₄，x₃＜x₁＜x₂＜x₄，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）f′（x）=（x²+x-1）e^x，f′（1）=e，f（1）=0，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y=g（x）=e（x-1），
設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則h′（x）=（x²+x-1）e^x-e，h″（x）=（x²+3x）e^x，
令h″（x）=0，可得x=-3或x=0，函數(shù)y=h′（x）在（-∞，-3），（0，+∞）上單調(diào)遞增，
在（-3，0）上單調(diào)遞減，
∵$h′（-3）=\frac{5}{{e}^{3}}-e＜0，h′（1）=0$，
∴x∈（-∞，1），h′（x）＜0，y=h（x）單調(diào)遞減；
x∈（1，+∞，），h′（x）＞0，y=h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x≥h（1）=0，
∴f（x）≥g（x）；
（2）∵y=f（x）在x=0處的切線方程為y=-x，則（x²-x）e^x≥-x
又（x²-x）e^x≥e（x-1），設(shè)y=m與y=-x和y=e（x-1）的兩個交點的橫坐標(biāo)為x₃，x₄，
∴x₃＜x₁＜x₂＜x₄，
∴|x₁-x₂|＜x₄-x₃=$\frac{m}{e}$+m+1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，屬于中檔題．