Question

9．已知三棱錐P-ABC的各棱長均相等，O是△ABC的中心，D是PC的中點(diǎn)，則直線PO與直線BD所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)底面邊長為a，連接CO交AB于F，過點(diǎn)D作DE∥PO交CF于E，連接BE，則∠BDE即PO與BD所成角，由此能求出直線PO與直線BD所成角的余弦值．

解答 解：設(shè)底面邊長為a，連接CO交AB于F，過點(diǎn)D作DE∥PO交CF于E，連接BE，
則∠BDE即PO與BD所成角，
∵PO⊥面ABC，∴DE⊥面ABC，∴△BDE是直角三角形，
設(shè)三棱錐P-ABC的各棱長均為a，則BD=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，CO=$\frac{2}{3}BD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴PO=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，∵點(diǎn)D為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，∴DE=$\frac{1}{2}PO$=$\frac{\sqrt{6}}{6}a$，
∴cos$∠BDE=\frac{DE}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線PO與直線BD所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查兩直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．