Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（cosx，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的極大值點從小到大構(gòu)成數(shù)列{a_n}，試求數(shù)列{$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sinxcosx-$\frac{1}{2}$$cos（2x+\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{6}）$，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由（1）可得：f（x）取得極大值時，2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．可得：a_n=$\frac{π}{3}$+（n-1）π=$\frac{3n-2}{3}π$．n∈N^*．于是$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（3n-2）（3n+1）}$=3$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sinxcosx-$\frac{1}{2}$$cos（2x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}（\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\frac{1}{2}sin2x）$=$\frac{3}{4}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$-\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z．
（2）由（1）可得：f（x）取得極大值時，2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴a₁=$\frac{π}{3}$，a₂=$\frac{π}{3}$+π，…，a_n=$\frac{π}{3}$+（n-1）π=$\frac{3n-2}{3}π$．n∈N^*．
∴$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{9}{（3n-2）（3n+1）}$=3$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
∴數(shù)列{$\frac{{π}^{2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n=3$[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=3$（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{9n}{3n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、和差化積、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．