Question

要使函數(shù)y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，再由-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，知當(dāng)x∈（-∞，1]時值域?yàn)椋?∞，-

3

4

]，分析可得答案．

解答：解：由題意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即a＞-

1+2x

4x

在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，
當(dāng)x∈（-∞，1]時值域?yàn)椋?∞，-

3

4

]，
∴a＞-

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題是解決這類問題常用的方法．