Question

16．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=2，AB=AE=1，M為矩形AEHD內(nèi)一點(diǎn)，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，則點(diǎn)M到平面EFGH的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 取FG的中點(diǎn)N，作MO⊥EH于O，連接MN，ON，MH，OG，通過MG和平面EFGH所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，推出$\frac{MO}{OG}$=$\frac{1}{2}$，然后求解即可．

解答 解：取FG的中點(diǎn)N，作MO⊥EH于O，連接MN，ON，MH，OG，
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=2，AB=AE=1，M為矩形AEHD內(nèi)一點(diǎn)，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，則△ONG≌△OGH，
所以O(shè)N=GH=AB=1，
因?yàn)镹是FG的中點(diǎn)，所以NG=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×2=1，
所以在Rt△ONG中，OG=$\sqrt{O{N}^{2}+N{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$
MG和平面EFGH所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，可得
$\frac{MO}{OG}$=$\frac{1}{2}$，則MO=$\frac{1}{2}OG$=$\frac{\sqrt{2}}{\;}2$．
則點(diǎn)M到平面EFGH的距離為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面的所成角的求法，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．