Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個極值點，求函數(shù)f（x）的表達式
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個極值點，根據(jù)極值點處的導數(shù)為零，建立方程組，求解即可．
（2）根據(jù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)轉(zhuǎn)化成f'（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．再利用線性規(guī)劃的方法求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx∴f'（x）=x²+ax-b（2分）
又x₁=-2和x₂=4為函數(shù)f（x）的兩個極值點
∴-2，4是方程x²+ax-b=0的兩個根
則

-a=-2+4 -b=(-2)×4

解得

a=-2 b=8

∴f(x)=

1

3

x3-x2-8x（4分）
（2）∵f（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)∴f'（x）=x²+ax-b≤0在區(qū)間[-1，3]上恒成立．
∴

f′(-1)≤0 f′(3)≤0

?

1-a-b≤0 a+3a-b≤0

?

a+b≥1 3a-b≤-9

?(6分)
作出

a+b≥1 3a-b≤-1

的可行域
聯(lián)立

a+b=1 3a-b=-9

得交點A(-2，3)?(10分)
∴a²+b²的最小值為A到原點O的距離的平方，即（-2）²+3²=13
∴a²+b²的最小值為13（12分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及根據(jù)單調(diào)性研究參數(shù)的范圍，屬于中檔題．