Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，求的值；

（3）設(shè)，是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為.證明：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】分析：（1）由條件可得，要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的定義域為。求導(dǎo)得 。當(dāng)時，。可得函數(shù)在上遞增。（2）由函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值，根據(jù)最小值等于，得到關(guān)于的關(guān)系式，即可求。由（1）知。因為，解不等式，，進(jìn)而可得函數(shù)在上遞減，在上遞增，進(jìn)而可得，所以，進(jìn)而解得 。滿足。（3）要證明，應(yīng)先把和表示出來。由兩點(diǎn)連線的斜率公式可得直線的斜率為，由線段的中點(diǎn)為，可得 。根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得。所以要證，即證。以下利用分析法可證。不妨設(shè)，即證，即證 。把看成整體。設(shè)，即證，移項即證，其中。構(gòu)造函數(shù)。證明函數(shù)的最小值大于0即可，求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)的最小值。

詳解：(1)函數(shù)的定義域為，，

因為 ，所以，

故函數(shù)在上遞增。

（2）由（1）知

因為 ，

所以由，可得；

由，可得。

所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，

所以。

所以，

解得，符合題意。

（3）證明：由已知可得

又，所以。

要證，即證。

不妨設(shè)，即證，即證。

設(shè)，即證，

即證，其中。

設(shè)，

則

所以在上單調(diào)遞增，

因此 得證.