Question

10．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且不等式x²-a₄x+a₁＜0的解集為（3，6）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n的最大值及此時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得3，6為x²-a₄x+a₁=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理可得a₄、a₁，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）方法一、運(yùn)用通項(xiàng)公式可得各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律，可得n=6或7時(shí)，S_n取到最大值；
方法二、求出前n項(xiàng)和的公式，由配方結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由不等式x²-a₄x+a₁＜0的解集為（3，6），
即為3，6為x²-a₄x+a₁=0的兩根，
有a₄=3+6=9，a₁=3×6=18，
即有3d=a₄-a₁=-9，
故等差數(shù)列{a_n}的公差d=-3，
所以 a_n=21-3n．
（2）法一：由（1）知：n≤6時(shí)，a_n＞0；n=7時(shí)，a_n=0；
n≥8時(shí)，a_n＜0；
所以n=6或7時(shí)，S_n取到最大值S₆=S₇=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{7}）•7}{2}$=63．
法二：S_n=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n}）•n}{2}$=$\frac{（18+21-3n）•n}{2}$=-$\frac{3}{2}$（n²-13n）=-$\frac{3}{2}$[（n-$\frac{13}{2}$）²-$\frac{169}{4}$]，
所以n=6或7時(shí)，S_n取到最大值S₆=S₇=63．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式和二次方程的關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值的求法，注意運(yùn)用等差數(shù)列中的項(xiàng)的變化規(guī)律和二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．