Question

1．已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導數(shù)，?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6．當x＞1時，f′（x）＜2x+1．若f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2．則實數(shù)m的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 利用構造法設g（x）=f（x）-x²-x，推出g（x）的對稱軸，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結果．

解答 解：構造函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x，g′（x）=f′（x）-2x-1
當x＞1時，g′（x）=f′（x）-2x-1＞0，∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵?x∈R有f（x）-f（2-x）=6x-6
∴?x∈R有g（x）=g（2-x），可得函數(shù)g（x）關于直線x=1對稱．
∴函數(shù)g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
不等式f（m+1）＜f（2m）-3m²+m+2?g（m+1）＜g（2m）
|m+1-1|＜|2m-1|，得m²＜（2m-1）²
解得m＞1或m$＜\frac{1}{3}$．
則實數(shù)m的取值范圍為：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
故答案為：（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導數(shù)的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，構造函數(shù)思想，屬于中檔題．