Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-12=0和點(diǎn)A（3，0），直線l過點(diǎn)A與圓交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）若以PQ為直徑的圓的面積最大，求直線l的方程；
（2）若以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）以PQ為直徑的圓的面積最大，則直線l過圓心，即可求直線l的方程；
（2）若以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，利用圓系方程，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²-2x-4y-12=0可化為圓C：（x-1）²+（y-2）²=17，圓心為（1，2），
∵以PQ為直徑的圓的面積最大，
∴直線l過點(diǎn)（1，2），
∵直線l過A（3，0），
∴直線l的方程為x+y-3=0；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），以PQ為直徑的圓的方程為x²+y²-2x-4y-12+λ（kx-y-3k）=0
（0，0）代入圓，整理可得-12-3λk=0，①
圓心坐標(biāo)為（1-

λk

2

，2+

λ

2

），代入y=k（x-3），可得2+

λ

2

=k（1-

λk

2

-3），②
由①②可得λ=-1，k=4，
∴直線l的方程為y=4（x-3）．

點(diǎn)評：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓系方程，正確運(yùn)用圓系方程，減少計算量．