Question

已知矩形BCC₁B₁所在平面與平面ABB₁N垂直，AN∥BB₁，AB⊥BB₁，且BB₁=8，AN=AB=BC=4，
（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）設(shè)θ為直線C₁N與平面CNB₁所成的角，求sinθ；
（3）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在BC邊上求一點(diǎn)P，使MP∥平面CNB₁，求

BP

PC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）BA，BC，BB₁兩兩垂直． 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，證出

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0后即可證明BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求出平面NCB₁的一個法向量

n

，利用

C1N

與此法向量的夾角求出直線C₁N與平面CNB₁所成的角
（3）設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，由MP∥平面CNB₁，得知

MP

•

n

=0，利用向量數(shù)量積為0求出a的值，并求出

BP

PC

的值．

解答： （1）證明：∵BA，BC，BB₁兩兩垂直．                              …（2分）
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（4分）
（2）解：設(shè)

n

=（x，y，z）為平面NCB₁的一個法向量，
則

x+y-z=0 -x+y=0

，取

n

=（1，1，2），
∵

C1N

=（4，-4，-4），
∴sinθ=

2

3

；…（8分）
（3）解：∵M(jìn)（2，0，0）．設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，則

MP

=（-2，0，a），
∵M(jìn)P∥平面CNB₁，
∴

MP

•

n

=0
∴（-2，0，a）•（1，1，2）=0，
∴a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當(dāng)PB=1時，MP∥平面CNB₁
∴

BP

PC

=

1

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系及判斷，線面角求解，利用空間向量的方法，能夠降低思維難度，但要注意有關(guān)的運(yùn)算要準(zhǔn)確．