Question

10．已知集合A={（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1}，集合B={（x，y）|（m+1）x+（2m-1）y-3m=0，m∈R}．
（1）求證：無論m取何值時，集合B中必有一個確定的元素；
（2）求集合A∩B的子集個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用直線系方程求出直線（m+1）x+（2m-1）y-3m=0恒過的定點（1，1），說明集合B={（x，y）|（m+1）x+（2m-1）y-3m=0，m∈R}中必有一個確定的元素；
（2）由直線過的定點在橢圓內(nèi)部，說明直線與橢圓相交，由此說明A∩B中含有兩個元素，可得集合A∩B的子集個數(shù)．

解答 （1）證明：由集合B={（x，y）|（m+1）x+（2m-1）y-3m=0，m∈R}，
即（x+2y-3）m+x-y=0，
∴x+2y-3=0，①
且x-y=0，②
由①②聯(lián)立，解得：x=1，y=1．
∴函數(shù)圖象過定點（1，1）．
即無論m取何值時，集合B中必有一個確定的元素；
（2）把點（1，1）代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，得$\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{5}{8}＜1$，
∴點（1，1）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1內(nèi)部，
∴直線（m+1）x+（2m-1）y-3m=0與橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1相交，
則集合A∩B有兩個元素，其子集個數(shù)4．

點評 本題考查元素與集合間關(guān)系的判斷，考查了交集及其運(yùn)算，考查了直線系方程，訓(xùn)練了直線與橢圓間的關(guān)系，是中檔題．