Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x-ax²．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求證：f（x）≥0；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若x＞0，證明（e^x-1）ln（x+1）＞x²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于x的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，證出結(jié)論即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)

解答 解：（Ⅰ）a=0時，f（x）=e^x-1-x，
f′（x）=e^x-1…（1分）
當(dāng)x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0…（2分）
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（0）=0，∴f（x）≥0…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=e^x-1-2ax，令h（x）=e^x-1-2ax，則h'（x）=e^x-2a．
1）當(dāng)2a≤1時，在[0，+∞）上，h'（x）≥0，h（x）遞增，h（x）≥h（0），
即f'（x）≥f'（0）=0，∴f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）≥f（0）=0，∴$a≤\frac{1}{2}$時滿足條件；…（5分）
2）當(dāng)2a＞1時，令h'（x）=0，解得x=ln2a，
當(dāng)x∈[0，ln2a）上，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴x∈（0，ln2a）時，有h（x）＜h（0）=0，即f'（x）＜f'（0）=0，
∴f（x）在區(qū)間（0，ln2a）為減函數(shù)，
∴f（x）＜f（0）=0，不合題意…（7分）
綜上得實數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{2}}]$…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，x＞0，e^x＞1+x+$\frac{{x}^{2}}{2}$，即e^x-1＞x+$\frac{{x}^{2}}{2}$，
欲證不等式（e^x-1）ln（x+1）＞x²，只需證ln（x+1）＞$\frac{2x}{x+2}$…（10分）
設(shè)F（x）=ln（x+1）-$\frac{2x}{x+2}$，則F′（x）=$\frac{{x}^{2}}{（x+1{）（x+2）}^{2}}$，
∵x＞0時，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，且F（0）=0，
∴F（x）＞0恒成立．
所以原不等式得證…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想以及不等式的證明，是一道綜合題．