【題目】已知圓C1:(x+1)2+y2=25,圓C2:(x﹣1)2+y2=1,動(dòng)圓C與圓C1和圓C2均內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程;
(2)點(diǎn)P(1,t)為軌跡E上點(diǎn),且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與軌跡E交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB斜率互為相反數(shù),則直線AB斜率是否為定值,若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:圓C1:(x+1)2+y2=25的圓心C1(﹣1,0),半徑r1=5;圓C2:(x﹣1)2+y2=1的圓心C2(1,0),半徑r2=1.
設(shè)動(dòng)圓C的圓心C(x,y),半徑r.
∵動(dòng)圓C與圓C1,圓C2均內(nèi)切,
∴|C1C|=5﹣r,|C2C|=r﹣1.
∴|C1C|+|C2C|=5﹣1=4>|C1C2|=2,
因此動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓,且2a=4,2c=2,得a=2,c=1,
∴b2=a2﹣c2=3.
因此動(dòng)圓圓心C的軌跡E方程是 ;
(2)解:如圖,
∵點(diǎn)P(1,t)為軌跡E上點(diǎn),且點(diǎn)P為第一象限點(diǎn),
∴ ,解得t= ,
∴P(1, ),
設(shè)PA所在直線方程為y﹣ ,則PB所在直線方程為 ,
聯(lián)立 ,得(3+4k2)x2﹣(8k2﹣12k)x+4k2﹣12k﹣3=0,
則 ,
∴ , ,
取k為﹣k,可得 ,
∴ .
∴直線AB斜率為定值 .
【解析】(1)圓(x+1)2+y2=1的圓心C1(﹣1,0),半徑r1=1;圓(x﹣1)2+y2=25的圓心C2(1,0),半徑r2=5.設(shè)動(dòng)圓C的圓心C(x,y),半徑r.由于動(dòng)圓C與圓(x+1)2+y2=1及圓(x﹣1)2+y2=25都內(nèi)切,可得|C1C|=r﹣1,|C2C|=5﹣r.于是|C1C|+|C2C|=5﹣1=4>|C1C2|=2,利用橢圓的定義可知:動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是橢圓;(2)把P的坐標(biāo)代入橢圓方程,求得t值,然后設(shè)出過(guò)PA的直線方程,PB的直線方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求得A,B的坐標(biāo),代入斜率公式可得直線AB斜率為定值 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c滿足f'(0)=4,f'(-2)=0。
(1)求a,b的值及曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),求c的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在正方體中,點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),平面交棱于點(diǎn).給出下列命題:
①存在點(diǎn),使得//平面;
②對(duì)于任意的點(diǎn),平面平面;
③存在點(diǎn),使得平面;
④對(duì)于任意的點(diǎn),四棱錐的體積均不變.
其中正確命題的序號(hào)是______.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定長(zhǎng)為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在以點(diǎn)(0, )為焦點(diǎn)的拋物線x2=2py上移動(dòng),記線段AB的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到x軸的最短距離,并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>的單調(diào)遞減的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】常州地鐵項(xiàng)目正在緊張建設(shè)中,通車后將給市民出行帶來(lái)便利.已知某條線路通車后,地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔 (單位:分鐘)滿足,.經(jīng)測(cè)算,地鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān),當(dāng)時(shí)地鐵為滿載狀態(tài),載客量為1200人,當(dāng)時(shí),載客量會(huì)減少,減少的人數(shù)與的平方成正比,且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為560人,記地鐵載客量為.
⑴ 求的表達(dá)式,并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí),地鐵的載客量;
⑵ 若該線路每分鐘的凈收益為(元),問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí),該線路每分鐘的凈收益最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若是兩個(gè)相交平面,則在下列命題中,真命題的序號(hào)為 .(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))
①若直線,則在平面內(nèi),一定不存在與直線平行的直線.
②若直線,則在平面內(nèi),一定存在無(wú)數(shù)條直線與直線垂直.
③若直線,則在平面內(nèi),不一定存在與直線垂直的直線.
④若直線,則在平面內(nèi),一定存在與直線垂直的直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)求證: 對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn).
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