Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c滿足f'（0）=4，f'（-2）=0。

（1）求a，b的值及曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）有三個不同的零點(diǎn)，求c的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）a=b=4，y=4x+c；（2）（0， ）.

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由f'（0）=4，f'（-2）=0求得a，b的值，再求得切線的斜率和切點(diǎn)，進(jìn)而得到所求切線的方程；
（2）由f（x）=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極值，由-c介于極值之間，解不等式即可得到所求范圍．

試題解析：

(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=3x2+2ax+b，

根據(jù)題意得： ，解得.

可得y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為k=f′(0)=b=4，

切點(diǎn)為(0,c)，可得切線的方程為y=4x+c；

(2)由（1）f(x)=x3+4x2+4x+c，

由f(x)=0,可得c= x3+4x2+4x，

由g(x)= x3+4x2+4x的導(dǎo)數(shù)g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)

當(dāng)或x<2時,g′(x)>0,g(x)遞增；

當(dāng)2<x<時,g′(x)<0,g(x)遞減.

即有g(x)在x=2處取得極大值，且為0；

g(x)在x=處取得極小值,且為，

由函數(shù)f(x)有三個不同零點(diǎn),可得<c<0，

解得0<c<，

則c的取值范圍是(0, ).