Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=12，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=

-2

anlog3 bn 2

，{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若T_n＜

m-2013

2

對一切n∈N⁺都成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知得當(dāng)n=1時(shí)，b1+

1

2

b1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+

1

2

b_n=1，S_n-1+

1

2

b_n-1=1，從而能夠證明{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
（3）由b_n=2•（

1

3

）ⁿ，得c_n=

-2

anlog3 bn 2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出最小正整數(shù)m．

解答： （1）解：設(shè){a_n}的公差為d，
則a₂=a₁+d=6，a₅=a₁+4d=12，
解得：a₁=4，d=2，
∴a_n=4+（n-1）×2=2n+2．…（2分）
（2）證明：∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+

1

2

b_n=1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b1+

1

2

b1=1，解得b₁=

2

3

，…（4分）
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+

1

2

b_n=1，S_n-1+

1

2

b_n-1=1，
兩式相減，得bn+

1

2

bn-

1

2

bn-1=0，…（5分）
∴bn=

1

3

bn-1，…（6分）
∴{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，公比為

1

3

的等比數(shù)列…（7分）
（3）解：由（2）可知：b_n=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•（

1

3

）ⁿ，…（8分）
∴c_n=

-2

anlog3 bn 2

=

-2

(2n+2)log3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1．…（12分）
∵T_n＜

m-2013

2

對一切n∈N⁺都成立，
∴

m-2013

2

≥1，解得m≥2015，∴最小正整數(shù)m=2015．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查滿足條件的最小正整數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．