Question

如圖，角θ的始邊OA落在ox軸上，其始邊、終邊與單位圓分別交于點(diǎn)A、C、θ∈（0，），外△AOB為等邊三角形．
（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）．求cos∠BOC；
（Ⅱ）記f（θ）=|BC|²，求函數(shù)f（θ）的解析式和值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得cos∠COA=，sin∠COA=，∠AOB=，由cos∠BOC=cos（∠COA+）
=cos∠COA cos-sin∠COA sin，運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，-），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ），利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡f （θ）
為 2+2sin（θ-），再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出 函數(shù)f（θ）的值域．
解答：解：（Ⅰ）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（），∴cos∠COA=，sin∠COA=．
再由△AOB為等邊三角形可得∠AOB=，
∴cos∠BOC=cos（∠COA+）=cos∠COA cos-sin∠COA sin
=．
（Ⅱ）記f （θ）=|BC|²，由于△AOB為等邊三角形，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為
（，-）．
再由θ∈（0，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（cosθ，sinθ）可得，
f （θ）=|BC|² ==2-cosθ+sinθ
=2+2sin（θ-）．
由于-＜θ-＜，∴-＜sin（θ-）＜，∴1＜2+2sin（θ-） ，
故函數(shù)f（θ）的值域?yàn)椋?，）．
點(diǎn)評：本題主要考查余弦定理，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．