Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos（θ-

π

3

）．
（Ⅰ）求直線(xiàn)l和圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（x，y）在圓C上，求x+

3

y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由直線(xiàn)的參數(shù)方程可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)及直線(xiàn)的傾斜角，求出斜率后代入點(diǎn)斜式得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程．展開(kāi)極坐標(biāo)方程右邊，兩邊同時(shí)乘以ρ后，由極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式得答案；
（Ⅱ）求出圓的參數(shù)方程，得到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，代入x+

3

y利用三角函數(shù)求得其取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t為參數(shù)），
可得直線(xiàn)l過(guò)（5，-

3

），傾斜角為

5π

6

，由此可得直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為：
y+

3

=-

3

3

(x-5)，即x+

3

y-2=0．
由ρ=4cos（θ-

π

3

），得
ρ=2cosθ+2

3

sinθ，兩邊同時(shí)乘以ρ得：ρ2=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
即(x-1)2+(y-

3

)2=4；
（Ⅱ）設(shè)

x=1+2cosθ y= 3 +2sinθ

，則
x+

3

y=2

3

sinθ+2cosθ+4=4sin(θ+

π

6

)+4．
由-1≤sin(θ+

π

6

)≤1，可得
0≤x+

3

y≤8．
即x+

3

y∈[0，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題．