Question

17．已知坐標平面上的凸四邊形 ABCD 滿足 $\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），則凸四邊形ABCD的面積為2； $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍是[-2，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)向量的模的計算和向量的坐標運算得到四邊形ABCD為對角線垂直且相等的四邊形，問題得以解決．

解答 解：∵凸四邊形 ABCD 滿足 $\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，且AC|=2，BD=2，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴凸四邊形ABCD的面積為$\frac{1}{2}×AC×BD$=$\frac{1}{2}×2×2$=2；
設(shè)AC與BD交點為O，OC=x，OD=y，則AO=2-x，BO=2-y； $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OD}$
=x（x-2）+y（y-2）=（x-1）²+（y-1）²-2，（0＜x，y＜2）；
∴當x=y=1時，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=-2為最小值，
當x→0或1，y→0或1時，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$接近最大值0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的取值范圍是[-2，0）．
故答案為：2；[-2，0）．

點評 本題考查了向量的坐標運算和向量的模的計算以及向量的夾角公式，屬于中檔題．