Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

（1）解法一：連接AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴O為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
解法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，11），B（2，2，0）．
∴，
設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，
則由，得，∴．
∵，
∴，
又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知是平面BDE的一個(gè)法向量，
又是平面DEC的一個(gè)法向量．
設(shè)二面角B-DE-C的平面角為θ，
由題意可知．
∴．
分析：（1）法一：連接AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接EO．由底面ABCD是正方形，知OE∥PA由此能夠證明PA∥平面BDE．
法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2，則，設(shè)是平面BDE的一個(gè)法向量，由向量法能夠證明PA∥平面BDE．
（2）由（1）知是平面BDE的一個(gè)法向量，又是平面DEC的一個(gè)法向量．由向量法能夠求出二面角B-DE-C的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重點(diǎn)題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．