Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+

3

sinxcosx-

1

2

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊，其中A為銳角，a=2

3

，c=4且f（A）=1，求b及△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），由周期公式即可求解．
（2）由f(A)=sin(2A-

π

6

)=1，又A為銳角，即可解得A，從而由正弦定理解得C=

π

2

，可得△ABC為Rt△，即可求得b，由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（1）f(x)=sin2x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin(2x-

π

6

)…（4分）
∴周期T=

2π

2

=π…（5分）
（2）f(A)=sin(2A-

π

6

)=1…（6分）
∴2A-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z
∴A=

π

3

+kπ，k∈Z
∵A為銳角
∴A=

π

3

…（8分）
又由

a

sinA

=

c

sinC

，得

2 3

sin π 3

=

4

sinC

…（9分）
解得C=

π

2

…（10分）
∴△ABC為Rt△
∴b=

c2-a2

=2
∴S△ABC=

1

2

ab=2

3

…（12分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．