Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，在x＞0時xf′（x）+f（x）＞0恒成立，且f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)f（x）的奇偶性得到函數(shù)g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、還有g(shù)（-1）=0，再通過奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性求出不等式得解集．

解答：解：設(shè)g（x）=xf（x），
則g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=f（x）+xf′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴g（x）=xf（x）是R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，
∵f（1）=0，∴f（-1）=0；  即g（-1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化為g（x）＞0，
當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞0等價于g（x）＞0，即g（x）＞g（1），即x＞1；
當(dāng)x＜0時，不等式f（x）＞0等價于g（x）＜0，即g（x）＜g（-1），即x＜-1．
故所求的解集為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案為（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系對不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意函數(shù)值為零的自變量的取值．