Question

1．已知函數(shù)f（x）=ln（a-$\frac{1}{x}$）（a∈R）．若關于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一個元素，則實數(shù)a的取值范圍為（1，2]∪{3，4}．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算法則進行化簡，轉化為一元二次方程，討論a的取值范圍進行求解即可．

解答 解：由ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0，
得ln[（ 4-a）x+2a-5]=ln（a-$\frac{1}{x}$），
即a-$\frac{1}{x}$=（4-a）x+2a-5＞0，①
則（a-4）x²-（a-5）x-1=0，
即（x-1）[（a-4）x+1]=0，②，
當a=4時，方程②的解為x=1，代入①，成立；
當a=3時，方程②的解為x=1，代入①，成立；
當a≠4且a≠3時，方程②的解為x=1或x=-$\frac{1}{a-4}$，
若x=1是方程①的解，則a-$\frac{1}{x}$=a-1＞0，即a＞1，
若x=-$\frac{1}{a-4}$是方程①的解，則a-$\frac{1}{x}$=2a-4＞0，即a＞2，
則要使方程①有且僅有一個解，則1＜a≤2．
綜上，關于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一個元素，
則a的取值范圍是1＜a≤2，或a=3或a=4，
故答案為：（1，2]∪{3，4}．

點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查數(shù)學轉化思想方法和分類討論的數(shù)學思想方法，屬中檔題．