Question

3．某研究性學(xué)習(xí)小組對(duì)春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，他們分別記錄了3月1日至3月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如表資料：

日    期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y（顆）	23	25	30	26	16

（1）若選取的是3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)3月2日至3月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；
（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（Ⅱ）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式：回歸直線的方程是y=bx+a，其中b=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}}^{2}-{n\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）先求出溫差x和發(fā)芽數(shù)y的平均值，即得到樣本中心點(diǎn)，利用最小二乘法得到線性回歸方程的系數(shù)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)在線性回歸直線上，得到a的值，得到線性回歸方程；
（2）分別驗(yàn)證當(dāng)x=10及x=8時(shí)，求得y值，分別驗(yàn)證|y-23|＜2及|y-16|＜2線性回歸方程是否可靠．

解答 （1）由數(shù)據(jù)，求得$\overline x=\frac{1}{3}（11+13+12）=12$，（1分）
$\overline y=\frac{1}{3}（25+30+26）=27$，$3\overline x\overline y=972$．（2分）
$\sum_{i=1}^3{{X_i}{Y_i}}=11×25+13×30+12×26=977$，（3分）
$\sum_{i=1}^3{X_i^2}={11^2}+{13^2}+{12^2}=434$，（4分）
$3{\overline x^2}=432$．（5分）
由公式，求得$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{977-972}{434-432}=\frac{5}{2}$，（6分）
$a=\bar y-b\overline{x}=27-\frac{5}{2}×12=-3$．  （7分）
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為$y=\frac{5}{2}x-3$．…．（8分）
（2）當(dāng)x=10時(shí)，$y=\frac{5}{2}×10-3=22$，|22-23|＜2；（11分）
同樣，當(dāng)x=8時(shí)，$y=\frac{5}{2}×8-3=17$，|17-16|＜2．
所以，該研究所得到的線性回歸方程是可靠的． …．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求線性回歸方程，并且用線性回歸方程來預(yù)報(bào)y的值，從而得到預(yù)報(bào)值與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差，得到線性回歸方程是否可靠，屬于基礎(chǔ)題．