Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ， a∈R． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明不等式： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題知f（x）的定義域為（﹣1，+∞）， ，
當(dāng)a=0時， 在 上恒成立，即 為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，滿足條件；
當(dāng)a≠0時，由f′（x）=0，得x=0，或 ．
若a＞0， ，由f′（x）＞0，得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，顯然， 為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
若a＜0，要使函數(shù)f（x）在 上有單調(diào)遞增區(qū)間，則f′（x）＞0的解集與 有公共區(qū)間，即 ，﹣1＜a＜0．
綜上所述，若函數(shù)f（x）在區(qū)間 上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為（﹣1，+∞）；
證明：（Ⅱ）a=1時，在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＜f（0）=0恒成立，
即 ln（1+x）﹣x﹣x2＜0，
即ln（1+x）＜x+x2在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
取x=n，n∈N* ， 則0＜ln（1+n）＜n+n2 ，
即 ，
即 ，
∴ ， ， ，…， ， ．
∴ ，
即 ．
【解析】（Ⅰ）由題知f（x）的定義域為（﹣1，+∞），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a=0時，f′（x）＞0在 上恒成立；當(dāng)a≠0時，求出導(dǎo)函數(shù)的兩個零點，分a＞0和a＜0討論求得使函數(shù)f（x）在 上有單調(diào)遞增區(qū)間的a的范圍；（Ⅱ）取a=1，可知在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，由此得到ln（1+x）＜x+x2在區(qū)間（0，+∞）上恒成立， 取x=n，n∈N* ， 則0＜ln（1+n）＜n+n2 ， 得 = ，分別取n=1，2，3，…，n，利用累加法證明 ．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．