Question

2．已知橢圓E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}$=1，直線l交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標為（1，-$\frac{1}{2}$），則l的方程為x-2y-3=0．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1．相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，再利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1．
相減可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=-1，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，代入上式可得：$\frac{2}{4}$-$\frac{k}{2}$=0，解得k=1．
∴直線l的方程為：y+$\frac{1}{2}$=x-1，化為：x-2y-3=0．
故答案為：x-2y-3=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．