Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）．若x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)，則如圖四個(gè)圖象可以為y=f（x）的圖象序號(hào)是

 

（寫出所有滿足題目條件的序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)f（x）e^x的導(dǎo)函數(shù)，利用x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)可得a，b，c之間的關(guān)系，再代入函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，對(duì)答案分別代入驗(yàn)證，看哪個(gè)答案不成立即可．

解答： 解：因?yàn)閇f（x）e^x]′=f′（x）e^x+f（x）（e^x）′=[f（x）+f′（x）]e^x，
且x=-1為函數(shù)f（x）e^x的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f（-1）+f′（-1）=0；
對(duì)于①②，f（-1）=0且f′（-1）=0，所以成立；
對(duì)于③，f（-1）＜0，且a＜0，-

b

2a

＜-1，得2a-b＜0，即b-2a＞0，
所以f′（-1）＞0，
所以可滿足f（-1）+f′（-1）=0，故③可以成立；
對(duì)于④，因f（-1）＞0，f′（-1）＞0，不滿足f′（1）+f（1）=0，故不能成立，
故①②③成立．
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．一般在知道一個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)，直接把極值點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)令其等0即可．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．