Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）求出a=2的函數(shù)解析式，討論x≥2時，x＜2時，二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，即可得到增區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-1的零點個數(shù)即為y=f（x）與y=1的交點個數(shù)．畫出圖象，討論a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通過圖象和對稱軸，即可得到交點個數(shù)．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=x|x-2|，
當x≥2時，f（x）=x²-2x，對稱軸為x=1，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
當x＜2時，f（x）=-x²+2x，對稱軸為x=1，
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）．
（2）令g（x）=f（x）-1=0，即f（x）=1，f（x）=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，
求函數(shù)g（x）的零點個數(shù)，即求y=f（x）與y=1的交點個數(shù)；
當x≥a時，f（x）=x²-ax，對稱軸為x=

a

2

，
當x＜a時，f（x）=-x²+ax，對稱軸為x=

a

2

，
①當a=0時，f（x）=x|x|，
故由圖象可得，
y=f（x）與y=1只存在一個交點．
②當a＞0時，

a

2

＜a，且f（

a

2

）=

a2

4

，
故由圖象可得，1°當a=2時，f（

a

2

）=

a2

4

=1，
y=f（x）與y=1只存在兩個交點；
2°當0＜a＜2時，f（

a

2

）=

a2

4

＜1，
y=f（x）與y=1只存在一個交點；
3°當a＞2時，f（

a

2

）=

a2

4

＞1，
y=f（x）與y=1只存在三個交點．
③當a＜0時，

a

2

＞a，
故由圖象可得，
y=f（x）與y=1只存在一個交點．
綜上所述：當a＞2時，g（x）存在三個零點；
當a=2時，g（x）存在兩個零點；
當a＜2時，g（x）存在一個零點．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)和方程的思想，函數(shù)零點的判斷，考查數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．