Question

6．已知函數(shù)f（x）=cosx（cosx+$\sqrt{3}$sinx）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，c²=7，若f（C）=1，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得$\frac{1}{2}$+sin（2C+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質即可得解最小值．
（Ⅱ）由已知可求sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，結合范圍2C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），可求C，利用三角形面積公式可求ab，進而利用余弦定理可求a+b的值，即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）$f（x）=cosx（cosx+\sqrt{3}sinx）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$…（1分）
=$\frac{1+cosx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x=\frac{1}{2}+sin（2x+\frac{π}{2}）$．…（4分）
當$sin（2x+\frac{π}{2}）=-1$時，f（x）取最小值為$-\frac{1}{2}$．…（6分）
（Ⅱ）∵f（C）=$\frac{1}{2}$+sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1，
∴sin（2C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…7分
∵C∈（0，π），2C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
∴C=$\frac{π}{3}$，…9分
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴ab=3，…10分
∵c²=7，
∴由余弦定理得c²=${a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}=7$，
∴（a+b）²=16，即a+b=4，
∴$a+b+c=4+\sqrt{7}$，…（11分）
所以△ABC的周長為$4+\sqrt{7}$．…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的性質，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．