Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n
（1）求數(shù)列{

Sn

n

}是等差數(shù)列
（2）若a₁=1，且對任意正整數(shù)n，k（n＞k），都有

Sn+k

+

Sn-k

=2

Sn

成立，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（3）記b_n=a（a＞0），求證：

b1+b2+…+bn

n

≤

b1+bn

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的前n項和公式求出S_n，再化簡

Sn

n

和

Sn

n

-

Sn-1

n-1

，利用等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）由題意令k=1代入

Sn+k

+

Sn-k

=2

Sn

，利用等差中項的性質可得數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，設其公差為t，利用等差數(shù)列的通項公式求出S_n，再由當n≥2時a_n=S_n-S_n-1、等差數(shù)列{a_n}的定義求出公差t，代入當n≥2時a_n=S_n-S_n-1化簡的式子即可；
（3）把b_n=a代入不等式的左邊和右邊化簡即可．

解答： 證明：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則S_n=na1+

n(n-1)

2

×d，
則

Sn

n

=a1+

n-1

2

×d，
所以

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=（a1+

n-1

2

×d）-（a1+

n-2

2

×d）=

d

2

，
則數(shù)列{

Sn

n

}是以

d

2

為公差的等差數(shù)列；
解：（2）因為對任意正整數(shù)n，k（n＞k），都有

Sn+k

+

Sn-k

=2

Sn

成立，
所以

Sn+1

+

Sn-1

=2

Sn

，
即數(shù)列{

Sn

}是等差數(shù)列，設其公差為t，且a₁=1，
則

Sn

=

S1

+（n-1）t=1+（n-1）t，即Sn=[1+(n-1)t]2，
所以當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=[1+（n-1）t]²-[1+（n-2）t]²=2t²n-3t²+2t，
又在等差數(shù)列{a_n}中，a₂-a₁=a₃-a₂，
即（4t²-3t²+2t）-1=（6t²-3t²+2t）-（4t²-3t²+2t），解得t=1，
代入a_n=2t²n-3t²+2t，化簡得a_n=2n-1；
證明：（3）由題意得，b_n=a（a＞0），
所以

b1+b2+…+bn

n

=

na

n

=a，

b1+bn

2

=

2a

2

=a，
則

b1+b2+…+bn

n

≤

b1+bn

2

成立．

點評：本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式，以及數(shù)列的前n項和與通項的關系式的應用，考查化簡計算能力，屬于中檔題．