Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+2．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足

b

a

=

3

，

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）．由x∈[0，

π

2

]，可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，從而解得f（x）的值域；
（2）由題意根據(jù)三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又b=

3

a，由余弦定理可解得A的值，從而求得B，C的值，即可求得f（B）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+2
=

3

sin2x-2sin²x+1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…4分
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-1，2]…6分
（2）∵由題意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）
有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）
化簡可得：sinC=2sinA，…9分
∴由正弦定理可得：c=2a，
∵b=

3

a，
∴由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3a2+4a2-a2

4 3 a2

=

3

2

∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分
所以可得：f（B）=1…12分

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．