Question

19．若雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（b＞0）$的一條漸近線與圓x²+（y-2）²=1至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $（\;1，\;\sqrt{2}]$
• B． $（\;1，\;\sqrt{3}]$
• C． （1，2]
• D． （1，4]

Answer 1

分析 雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一條漸近線與圓x²+（y-2）²=1至多有一個(gè)交點(diǎn)，可得圓心（0，2）到漸近線的距離不小于半徑r，解出即可．

解答 解：圓x²+（y-2）²=1的圓心（0，2），半徑r=1．
∵雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的一條漸近線y=bx與圓x²+（y-2）²=1至多有一個(gè)交點(diǎn)，
∴$\frac{|0-2|}{\sqrt{1+^{2}}}$≥1，化為b²≤3．
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+b²≤4，
∵e＞1，
∴1＜e≤2，
∴該雙曲線的離心率的取值范圍是（1，2]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握雙曲線的漸近線方程、離心率的計(jì)算公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．