Question

7．如圖，某段鐵路AB長(zhǎng)為80公里，BC⊥AB，且BC=10公里，為將貨物從A地運(yùn)往C地，現(xiàn)在AB上的距點(diǎn)B為x的點(diǎn)M處修一公路至點(diǎn)C．已知鐵路運(yùn)費(fèi)為每公里2元，公路運(yùn)費(fèi)為每公里4元．
（1）將總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)．
（2）如何選點(diǎn)M才使總運(yùn)費(fèi)最��？

Answer 1

分析 （1）鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2（80-x），公路MC上的運(yùn)費(fèi)為$4\sqrt{100+{x^2}}$，然后列出總運(yùn)費(fèi)y表示為x的函數(shù)．
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）依題意，鐵路AM上的運(yùn)費(fèi)為2（80-x），
公路MC上的運(yùn)費(fèi)為$4\sqrt{100+{x^2}}$，
則由A到C的總運(yùn)費(fèi)為$y=2（{80-x}）+4\sqrt{100+{x^2}}（{0≤x≤80}）$．
…（6分）
（2）$y'=-2+\frac{4x}{{\sqrt{100+{x^2}}}}（{0≤x≤80}）$，…（8分）
令y'=0，解得$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$，或$x=-\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$（舍）．…（10分）
當(dāng)$0≤x≤\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，y'≤0；當(dāng)$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}≤x≤80$時(shí)，y'≥0；
故當(dāng)$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，y取得最小值，
即當(dāng)在距離點(diǎn)B為$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$公里時(shí)的點(diǎn)M處修筑公路至C時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．