已知函數(shù)f（x）=ax3+x2+1，x∈（0，1]．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）在（0，1]上的最大值．

解：（I）f′（x）=3ax2+2x，
∵f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，
∴x∈（0，1]時f′（x）=3ax2+2x＞0恒成立
即a＞-對x∈（0，1]恒成立
∵-在（0，1]上單調(diào)遞增，當x=1時，-取最大值-
∴a＞-
（II）①當a＞時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增
∴f（x）max=f（1）=a+1
②a≤時，令f'（x）=3ax2+2x=0
由x≠0，x=-，當0＜x＜-，f'（x）＞0，當-＜x＜1時，f'（x）＜0
∴x=-時，f（x）取極大值
∵f（1）=a+2≤
∴f（x）在（0，1]上的最大值為
分析：（I）f（x）在（0，1]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化成x∈（0，1]時f'（x）＞0恒成立，然后將a分離出來，研究不等式另一側(cè)的最大值即可求出a的范圍；
（II）討論a的范圍，當a＞時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，f（x）max=f（1），a≤時，求出極大值，即為最大值，即可求出所求．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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