Question

已知平行四邊形ABCD，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，把三角形ADE沿DE折起至A₁DE位置，使得A₁C=4，F(xiàn)是線段A₁C的中點．

（1）求證：BF∥面A₁DE；
（2）求證：面A₁DE⊥面DEBC；
（3）求四棱錐A₁-DEBC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取DA₁的中點G，連接FG、GE，通過證明BF∥EG，利用直線與平面平行的判定定理證明BF∥平面A₁DE．
（2）取DE的中點H，連接A₁H、CH，通過證明A₁H⊥面DEBC，然后通過平面與平面垂直的判定定理證明面A₁DE⊥面DEBC．
（3）利用（2）的結(jié)果，直接求解幾何體的體積即可．

解答： （本題14分）
解：（1）證明：取DA₁的中點G，連接FG、GE，
∵F為A₁C中點，

∴GF∥DC，且GF=

1

2

DC，
∵E為平行四邊形ABCD邊AB的中點，
∴EB∥DC，且EB=

1

2

DC，
∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四邊形BFGE是平行四邊形，
∴BF∥EG，
∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE
∴BF∥平面A₁DE…（4分）
（2）取DE的中點H，連接A₁H、CH，
∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，
∴△DAE為等邊三角形，即折疊后△DA₁E也為等邊三角形，
∴A₁H⊥DE，且A1H=

3

，

在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°
根據(jù)余弦定理，可得HC2=DH2+DC2-2DH•DCcos60o=12+42-2×1×4×

1

2

=13，
在△A₁HC中，A1H=

3

，HC=13，A₁C=4，
∴A1C2=A1H2+HC2，即A₁H⊥HC
又∵

A1H⊥DE A1H⊥HC DE?面DEBC HC?面DEBC DE∩HC=H

，所以A₁H⊥面DEBC
又∵A₁H?面A₁DE∴面A₁DE⊥面DEBC…（10分）
（3）由第（2）問知A₁H⊥面DEBC，
VA1-DEBC=

1

3

S底面DEBC•h=

1

3

×

1

2

(2+4)×

3

×

3

=3…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象力以及計算能力．