Question

7．已知公差大于零的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：a₂a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）求數列{a_n}的通項公式和前n項和S_n．
（2）設b_n=$\frac{n}{（2n+1）Sn}$，數列{b_n}的前n項和T_n，證明：T_n＜$\frac{1}{2}$對于任意的正整數n均成立．

Answer 1

分析 （1）利用a₁+a₅=a₂+a₄=18可求出a₂，a₄，再列方程解出首項和公差，繼而得出通項公式和前n項和公式；
（2）化簡得b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），然后使用裂項法求出T_n即可得出結論．

解答 解：（1）數列{a_n}為等差數列，因為a₁+a₅=a₂+a₄=18，
又a₂a₄=65，∴a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的兩個根，
又公差d＞0，∴a₂＜a₄，∴a₂=5，a₄=13．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=4．
∴a_n=4n-3．
S_n=n×1+$\frac{n（n-1）}{2}$×4=2n²-n，
（2）由（1）知，S_n=2n²-n，
∴b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
∴T_n＜$\frac{1}{2}$對于任意的正整數n均成立．

點評 本題考查了等差數列的性質，裂項法數列求和，屬于中檔題．